Question

已知圓的兩弦AB、CD的長是方程x²-42x+432=0的兩根，且AB∥CD，又知兩弦之間的距離為3，則圓的半徑是（ ）
A．12
B．15
C．12或15
D．21

Answer 1

【答案】分析：首先解一元二次方程求得方程的解，即弦的長度，設圓的半徑是r，利用垂徑定理以及勾股定理即可表示出兩條弦的弦心距，根據兩弦之間的距離為3，即兩條弦的弦心距的和或差是3，即可得到一個關于r的方程，從而求得r的值．
解答：解：解方程x²-42x+432=0
x=
則x=24或18．
不妨設AB=24，CD=18．設圓的半徑是r．作OM⊥AB于點M，作ON⊥CD于點N，AM=12，CN=9．
連接OA、OC．
OM===，ON=．
當AB與CD在圓心的兩邊時，OM+ON=3．
則+=3，
方程無解；
當AB與CD在圓心的同側時：ON-OM=3，
則-=3，
解得：r=15．
點評：本題考查了垂徑定理以及無理方程的解法，正確解無理方程是關鍵．