Question

已知圓的兩弦AB、CD的長是方程x²-42x+432=0的兩根，且AB∥CD，又知兩弦之間的距離為3，則圓的半徑是（　　）

A．12

B．15

C．12或15

D．21

Answer 1

分析：首先解一元二次方程求得方程的解，即弦的長度，設(shè)圓的半徑是r，利用垂徑定理以及勾股定理即可表示出兩條弦的弦心距，根據(jù)兩弦之間的距離為3，即兩條弦的弦心距的和或差是3，即可得到一個(gè)關(guān)于r的方程，從而求得r的值．

解答：解：解方程x²-42x+432=0
x=

42± 422-4×432

2

則x=24或18．
不妨設(shè)AB=24，CD=18．設(shè)圓的半徑是r．作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥CD于點(diǎn)N，AM=12，CN=9．
連接OA、OC．
OM=

OA2-AM2

=

r2- 122

=

r2-144

，ON=

r2-81

．
當(dāng)AB與CD在圓心的兩邊時(shí)，OM+ON=3．
則

r2-144

+

r2-81

=3，
方程無解；
當(dāng)AB與CD在圓心的同側(cè)時(shí)：ON-OM=3，
則

r2-81

-

r2-144

=3，
解得：r=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理以及無理方程的解法，正確解無理方程是關(guān)鍵．