Question

如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點C作△ABC的外接圓的切線l，過點D，E分別作l的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：由于l是切線，利用弦切角定理可得∠FCD=∠EAB，而∠DFC=∠BEA=90°，可證Rt△FCD∽Rt△EAB，那么
有

DF

CD

=

BE

AB

，同理可得EG=AD•

CE

AB

，∠ACB既在△BCE，又在△ACD中，那么易得tan∠ACB=

AD

CD

=

BE

CE

，即BE•CD=AD•CE，從而可證DF=EG．

解答：解：結(jié)論是DF=EG．
∵∠FCD=∠EAB，∠DFC=∠BEA=90°，
∴Rt△FCD∽Rt△EAB，
∴

DF

CD

=

BE

AB

，
∴DF=BE•

CD

AB

，
同理可得EG=AD•

CE

AB

，
又∵tan∠ACB=

AD

CD

=

BE

CE

，
∴BE•CD=AD•CE，
∴DF=EG．

點評：本題利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、正切概念．