Question

如圖，從一個直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為90°的扇形
（1）求這個扇形的面積（結果保留π）
（2）在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐？請說明理由
（3）當⊙O的半徑R（R＞0）為任意值時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求扇形的半徑，再根據弧長公式求值．
（2）本題需要求出③中最大圓的直徑以及圓錐底面圓的直角（圓錐底面圓的周長即弧BC的長）．然后進行比較即可．
（3）同（2），需要求出底面半徑和剩下的料的最短邊之間的大小關系．

解答：解：（1）連接BC，
∵∠A=90°，
∴BC為直徑，
∴BC過圓心O，
由勾股定理求得：AB=AC=

2

，
S=

nπR2

360

=

1

2

π；

（2）連接AO并延長，與弧BC和⊙O交于E、F，
∵AB=AC，BO=CO，
∴AO⊥BC，
∴EF=AF-AE=2-

2

，
弧BC的長：l=

nπR

180

=

2

2

π；
∵2πr=

2

2

π，
∴圓錐的底面直徑為：2r=

2

2

；
∵2-

2

＜

2

2

，
∴不能在余料③中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐．

（3）由勾股定理求得：AB=AC=

2

R；
弧BC的長：l=

nπR

180

=

2

2

πR，
∵2πr=

2

2

πR，
∴圓錐的底面直徑為：2r=

2

2

R；
EF=AF-AE=2R-

2

R=(2-

2

)R，
∵2-

2

＜

2

2

且R＞0；
∴(2-

2

)R＜

2

2

R．
即無論半徑R為何值，EF＜2r．
∴不能在余料③中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐．

點評：此題的關鍵是熟悉圓錐的展開圖和底面圓與圓錐的關系．利用所學的勾股定理、弧長公式及扇形面積公式求值．