Question

已知關于的一元二次方程．
（1）求證：當取不等于l的實數時，此方程總有兩個實數根．
（2）若是此方程的兩根，并且，直線：交軸于點A，交軸于點B，坐標原點O關于直線的對稱點O′在反比例函數的圖象上，求反比例函數的解析式．
（3）在（2）的成立的條件下，將直線繞點A逆時針旋轉角，得到直線′，′交軸于點P，過點P作軸的平行線，與上述反比例函數的圖象交于點Q，當四邊形APQO′的面積為時，求角的值．

Answer 1

（1）證明
∵為關于的一元二次方程
∴,即≠1
∴△＝
∴△≥0
∴當取不等于1的實數時,此方程總有兩個實數根．
∴,
（2）∵ 
∴
又∵、是方程的兩根
∴
∵
∴
∴直線的解析式為
∴直線與軸交點A（－3,0）與軸交點B（0,3）
∴△ABO為等腰直角三角形
∴坐標原點O關于直線的對稱點O′的坐標為（－3,3）
∴反比例函數的解析式為
（3）解:設點P的坐標為（0,P）,延長PQ和AO′交于點G
∵PQ∥軸,與反比例函數圖象交于點Q
∴四邊形AOPG為矩形
∴Q的坐標為（,P）
∴G（－3,P）
當0°＜＜45°,即P＞3時
∵GP＝3，GQ＝3，GO′＝P－3，GA＝P
∴S_{四邊形APQO’}＝S_△APG－S_△GQO’
＝×GA×GP－×GQ×GO’
＝×P×3－（3）×（P－3）
＝
∴ 
∴P＝
經檢驗,P＝ 符合題意
∴P（0，）
∴AP=6
點A關于軸的對稱點A′（3，0），連結A′P，
易得AP=PA′=6，又∵AA′=6
∴AA′=AP=A′P
∴∠PAO＝60°
∵∠BAO＝45°
∴＝∠PAO －∠BAO ＝60°－45°＝15°
當45°≤＜90°，即P＜－3時，
可類似地求得P=，這與P＜－3矛盾，所以此時點P不存在
∴旋轉角＝15°

解析