Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，點M為BC邊上一點，BE⊥AM于E交AC于F，且BM=n•CM．

（1）如圖①，當n=3時，=______；
（2）如圖②，當n=2時，求證：AE=EM；
（3）如圖③，當n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖①，延長DC、AM，交于點N，先由平行線的性質得出∠ACN=90°，利用余角的性質得出∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，根據ASA證明△BAF≌△ACN，得到AF=CN，再由△BMA∽△CMN，即可求出==3；
（2）如圖②，延長DC、AM，交于點N，連接DF，先同（1）可證△BAF≌△ACN，得出AF=CN，同（1）可證△BMA∽△CMN，得出==2，則F為AC的中點，再根據平行四邊形的性質，得出B、F、D三點共線，然后由△ADE∽△MBE，得出==，即可證明AE=EM；
（3）如圖③，當n=+1時，=+1，由合比性質得出==，由△ABC為等腰直角三角形得出=，則BM=AB，再根據等腰三角形三線合一的性質即可證明E為AM的中點．
解答：（1）解：如圖①，延長DC、AM，交于點N．
∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ACN=180°-∠BAC=180°-90°=90°．
∵BE⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE．
在△BAF與△ACN中，
，
∴△BAF≌△ACN（ASA），
∴AF=CN．
∵CN∥AB，
∴△BMA∽△CMN，
∴==3，
∴=3；

（2）證明：如圖②，延長DC、AM，交于點N，連接DF．
同（1）可證△BAF≌△ACN，
∴AF=CN．
同（1）可證△BMA∽△CMN，
∴==2，
∴AB=2CN，
∴AC=2AF，
∴F為AC的中點．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴B、F、D三點共線．
∵AD∥BM，
∴△ADE∽△MBE，
∴==，
∴AE=EM；

（3）解：如圖③，當n=+1時，E為AM的中點．理由如下：
∵n==+1，
∴==．
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴=sin45°=，
∴BM=AB，
∵BE⊥AM，
∴E為AM的中點．
故答案為3；+1．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，余角的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，比例的性質等知識，綜合性較強，難度較大．利用數形結合思想，正確作出輔助線是解題的關鍵．