Question

【題目】如圖，矩形ABCD的面積為15，邊AB比AD大2，E為CD中點，以AE為直徑的⊙F交AB于G點，以EG為直徑的⊙H交EB于P點，回答下列問題：

（1）求AB、AD的長；

（2）求證：PG為⊙F的切線；

（3）求PG的長．

Answer 1

【答案】（1）AD＝3，AB＝5；（2）證明見解析；（3）PG＝．

【解析】

（1）根據矩形ABCD的面積和邊AB比AD大2，列方程可求出；

（2）連接FG，通過中位線定理說明FG∥EB，再利用圓周角定理說明PG⊥EB，即可證明PG⊥FG；

（3）根據（1）（2）可得EG、BG的長，再求出BE的長，在直角△EBG中利用面積公式可得：BE×PG=EG×BG，即可解出PG.

解：（1）設AD＝，則AB＝＋2，

∴．

解得＝－5（舍去），＝3．

∴AD＝3，AB＝5．

（2）連接FG，

∵AE是⊙F的直徑，且點G在⊙F上，

∴EG⊥AB．

又∵E為CD的中點，

∴G為AB的中點．

又∵F為AE的中點，

∴FG∥EB．

又∵EG是⊙H的直徑，且點P在⊙H上，

∴PG⊥EB．

∴PG⊥FG．

又∵點G在⊙F上，

∴PG是⊙F的切線．

（3）由（1）（2）可知GE＝AD＝3，GB＝AB＝，GE⊥GB，PG⊥EB，

∴EB＝＝．

∴由Rt△BGE的面積公式可得PG＝．