Question

如圖，點A、B、C在同一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形．

（1）求證：AE=CD；
（2）△DBC能否由△ABE繞點B點按順時針方向旋轉而得到？若能，指出旋轉度數；（不用寫過程，直接寫結果）
（3）若M，N分別是AE，CD的中點，試判斷△BMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）要求AE=CD，可把兩條線段放在△ABE，△DBC中，利用SAS證明兩個三角形全等即可；
（2）△DBC能由△ABE繞點B點按順時針方向旋轉而得到，根據等邊三角形的內角為60°，得到∠ABD為60°，即可確定出旋轉度數為60°；
（3）△BMN的形狀為等邊三角形，理由為：在（1）的基礎上，通過三角形的全等，得到一對角相等，再由M與N分別AE、CD的中點，得到AM=DN，以及AB=BD，利用SAS可證明三角形ABE與三角形DBN全等，由全等三角形的對應角相等，對應邊相等，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得出△BMN為等邊三角形．

解答：解：（1）證明：∵△ABD、△BCE都是等邊三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中

AB=BD ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
則△DBC能由△ABE繞點B點按順時針方向旋轉而得到，旋轉度數為60°；
（3）△MBN是等邊三角形，理由為：
證明：∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分別是AE、CD的中點，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中

AM=DN ∠BAE=∠BDC AB=DB

，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等邊三角形．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及旋轉的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．