Question

如圖，O是銳角三角形ABC內一點，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC內不同于O的另一點；△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉而得，旋轉角都為60°，則下列結論中正確的有（ ）
①△O′BO為等邊三角形，且A′，O′，O，C在一條直線上．
②A′O′+O′O=AO+BO．
③A′P′+P′P=PA+PB．
④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由于△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉而得，旋轉角都為60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，則△BOO′和△BPP′都是等邊三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四個結論都正確．
解答：解：連PP′，如圖，
∵△A′BO′，△A′BP′分別由△AOB，△APB旋轉而得，旋轉角都為60°，
∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，
∴△BOO′和△BPP′都是等邊三角形，
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，
即△O′BO為等邊三角形，且A′，O′，O，C在一條直線上，所以①正確；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正確；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正確；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正確．
故選D．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質以及兩點之間線段最短．