Question

如圖所示，△OAB，△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如圖1，點C在OA邊上，點D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點．求證：OM⊥BC．
（2）如圖2，在圖1的基礎上，將△OCD繞點O逆時針旋轉a（a為銳角），M為線段AD的中點．
①線段OM與線段BC是否存在某種確定的數量關系？寫出并證明你的結論；
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，可證△AOD≌△BOC，根據全等三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線的性質即可證明OM⊥BC；
（2）①先延長AO到F，使FO=AO．連接DF，由M為AD中點，O為AF中點，得出MO為△ADF中位線，MO=DF，再由∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，得出∠COB=∠DOF，根據SAS判斷△COB≌△DOF，則DF=BC，所以MO=BC；
②由MO為△ADF中位線，得出MO∥DF，根據平行線的性質得出∠MOA=∠F，再由全等三角形的性質和角之間的關系即可證得結論．
解答：（1）證明：∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD與△BOC中，

∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵點M為線段AD的中點，
∴OM=MD，
∴∠ODM=∠DOM，
∴OM⊥BC；

（2）①OM=BC．
證明：延長AO到F，使FO=AO．連接DF，
則OB=OF，
∵M為AD中點，O為AF中點，
∴MO為△ADF中位線，
∴MO=DF，
∵∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOF，
在△COB與△DOF，
，
∴△COB≌△DOF（SAS），
∴DF=BC，
∴MO=BC；
②∵MO為△ADF的中位線，
∴MO∥DF，
∴∠MOA=∠F，
又∵△COB≌△DOF，
∴∠CBO=∠F，
∵∠AOC+∠FOD=90°，
∴∠CBO+∠BOM=90°，
即OM⊥BC．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三角形、三角形中位線定理、旋轉的性質，此題綜合性較強，適用于基礎較好的學生．