Question

如圖，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，在BC邊上有一動點P，過P作PD∥AB，與AC相交于點D，連接AP，設BP=x，△APD的面積為y．
（1）求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍．
（2）是否存在這樣的P點，使得△APD的面積等于△ABP面積的？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設△ABP，△APD，△CDP的面積分別記為S₁，S₂，S₃，由已知條件可求出△ABC中BC邊上的高為4，設△CDP中PC邊上的高為h，找到h和x的數量關系，則即可求出用x的代數式分別表示S₁，S₂，S₃進而表示出△APD的面積y；
（2）存在，有（1）可知AE=4，進而求出，當使得△APD的面積等于△ABP面積的時，則，再解一元二次方程即可求出BP的長．
解答：解：（1）過A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，
∴△ABC中BC邊上的高為4，
設△CDP中PC邊上的高為h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴h=（6-x）
這樣S₁=2x，S₃=（6-x）•6-x）=（6-x）²，
S₂=12-2x-（6-x）²，
即，
∵P點只能在線段BC上移動，且不能與B、C兩點重合
∴函數自變量的取值范圍是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴，
若則
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC邊上存在一點P（BP=2），使△APD的面積等于△ABP的面積的．
點評：本題考查了二次函數和一元二次方程的關系以及三角形的面積，難度不大，屬于中檔題目．