Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，經過B、D兩點的⊙O交AB 于點E，交BC于點F，EB為⊙O的直徑．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當BC=2，cos∠ABC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）根據切線的判定定理，垂直經過半徑外端的直線是圓的切線，連接OD，只要得出OD⊥AC即可得出；

（2）通過解直角三角形求得AB，然后證明△AOD∽△ABC，利用相似的性質得對應邊的比值相等，即可求得⊙O的半徑．

試題解析：（1）如圖，連結OD．

∴OD=OB．

∴∠1=∠2．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OD∥BC．

∴∠ADO=∠C=90°．

∴OD⊥AC．

∵OD是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線．

（2）在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=，

∴．

設⊙O的半徑為r，則AO=6﹣r．

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC．

∴．

∴．

解得r=．

∴⊙O的半徑為．