Question

一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=6米．用這塊廢料剪出一個矩形CDEF，其中點D、E、F分別在AC、AB、BC上、設邊AE的長為x米，矩形CDEF的面積為S平方米．
（1）請直接寫出S與x之間的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（2）根據（1）中的函數關系式，計算當x為何值時S最大，并求出最大值．
參考公式：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），當x=時，y_{最大（小）值}=．

Answer 1

解：（1）∵四邊形DEFC是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE=AE，
∵AE=x，
∴DE=x，
∴AD=x，
同理在直角三角形ACB中，AC==3米，
∴DC=AC-AD=3-x，
∴S_矩形DECF=DE•CD=x（3-x）=-x²+x，
（2）∵S_矩形DECF=-x²+x，
∴a=-＜0，
∴S有最大值，
∴x=-=3時，S_最大==，
∴當AB的長是3米時，矩形CDEF的面積最大，最大面積是平方米．
分析：（1）在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半可求出DE的長，進而求出AD，同理在直角三角形ACB中可求出AC，所以就可以求出DC的長，即矩形DEFC的長，再利用矩形的面積公式即可得到S和x的函數關系式；
（2）利用求二次函數最值公式即可求出當x為何值時S最大，以及最大值．
點評：本題考查的是直角三角形的性質：在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理的運用，利用矩形的面積公式得到關于x的二次函數，根據二次函數的性質，確定x，y的取值和面積的最大值是解題的關鍵．