Question

（2012•和平區一模）一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用這塊廢料剪出一個矩形CDEF，其中，點D、E、F分別在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面積最大，點E應選在何處？

Answer 1

分析：首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC=6、AC的長，然后根據四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC從而得到△BEF∽△BAC，設AE=x，則BE=12-x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有關x的二次函數，然后求二次函數的最值即可．

解答：解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，
∴BC=6，AC=AB•cos30°=12×

3

2

=6

3

．
∵四邊形CDEF是矩形，
∴EF∥AC．
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

BA

．
設AE=x，則BE=12-x．
EF=

6 3 (12-x)

12

=

3

2

(12-x)．
在Rt△ADE中，DE=

1

2

AE=

1

2

x．                   
矩形CDEF的面積S=DE•EF=

1

2

x•

3

2

(12-x)=-

3

4

x2+3

3

x（0＜x＜6）．                
當x=-

b

2a

=-

3 3

2×(- 3 4 )

=6時，S有最大值．
∴點E應選在AB的中點處．

點評：本題考查了相似三角形的應用及二次函數的應用，解題的關鍵是從幾何問題中整理出二次函數模型，并利用二次函數的知識求最值．