Question

求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：利用數形結合的思想，把x²+1、（4-x）²+4看成是勾股定理的形式，則可作線段MN=4，過A、B兩點分別作AM⊥MN，BN⊥MN，使AM=1，BN=2，過點A作關于MN的軸對稱點A′，連接AB，交MN于點P，則線段A′B即為所求的最小值，求解即可．
解答：解：利用數形結合，
如圖，線段MN=4，
過A、B兩點分別作AM⊥MN，
BN⊥MN，使AM=1，BN=2，
過點A作關于MN的軸對稱點A′，
連接AB，交MN于點P，
則線段A′B即為所求的最小值．（2分）
過A′作A′C∥MN交BN延長線于C．
則A′C=4，BC=3，
在Rt△A′BC中，∠C=90°，
由勾股定理有：A′B²=A′C²+BC²，可得A′B=5，
所以原式的最小值為5．（2分）
（還有其它證明方法，請老師們按步驟給分）
點評：此題難度較大，由二次根式被開方因式的特點作圖是個難點．