Question

【題目】綜合與實踐

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB上的動點（不與點A，B重合）．

（1）操作發現：如圖①，當AC＝BC＝8時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連接DE，BE．

①∠CBE的度數為　 　；

②當BE＝　 　時，四邊形CDBE為正方形；

（2）探究證明：如圖②，當BC＝2AC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°后并延長為原來的兩倍，記為線段CE，連接DE，BE．

①在點D的運動過程中，請判斷∠CBE與∠A的大小關系，并證明；

②當CD⊥AB時，求證：四邊形CDBE為矩形．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②；（2）①∠CBE＝∠A，證明詳見解析；②詳見解析

【解析】

(1)①根據等腰直角三角形的性質得到，證明，根據全等三角形的性質證明結論；

②根據勾股求出AB，再根據正方形的性質計算即可；

（2）①證明，根據相似三角形的性質證明結論；

②根據全等三角形的性質、矩形的判定定理證明．

解：（1）①∵，

∴，

，

∴∠ACB=∠DCE，

∴，

即，

在和中，

，

∴（SAS），

；

故答案為：45°；

②,

，

當四邊形CDBE是正方形時，CD⊥AB，BE=BD=AD，

；

故答案為：．

（2）①∠CBE＝∠A．

理由如下：

∵BC＝2AC，CE＝2CD，

∴，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴∠CBE＝∠A；

②證明：∵∠CBE＝∠A，∠DBC+∠A＝90°，

∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBC+∠A＝90°，

∵⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

又∵∠DCE＝90°，

∴四邊形CDBE是矩形．