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25、如圖,⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓,⊙O與斜邊AC交于D,過D作DH⊥AB于H,又過D作直線DE交BC于點E,使∠HDE=2∠A.
求證:(1)DE是⊙O的切線;(2)OE是Rt△ABC的中位線.
分析:(1)連接OD,利用同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半,得到∠HOD=2∠A,然后用等量代換得到∠ODE=90°,證明DE是⊙O的切線.
(2)利用(1)的結論有∠ODE=90°,又已知∠OBE=90°,證明△BOE≌△DOE,得到∠BOE=∠A,所以OE∥AD,得到點E是BC的中點,可以證明OE是△ABC的中位線.
解答:解:(1)連接OD,
則∠HOD=2∠A,
已知∠HDE=2∠A,
則∠HOD=∠HDE,
∵HD⊥AB,
∴∠HOD+∠HDO=90°,
∴∠HDE+∠HDO=90°,
即OD⊥DE,
又OD是半徑,
∴DE是⊙O的切線;

(2)∵DE是⊙O的切線,∠ABC=90°,
∴∠OBE=∠ODE=90°,
又OB=OD,OE=OE,
∴Rt△BOE≌Rt△DOE,
∴∠BOE=∠DOE,
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE,
又∠HOD=2∠A,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AD,
而O是AB的中點,
故OE是△ABC的中位線.
點評:本題考查的是切線的判定,(1)利用同弧所對的圓周角和圓心角的關系,以及等量代換求出∠ODE的度數,證明DE是⊙O的切線.(2)利用(1)的結論證明兩三角形全等,得到相等的角度,再用同位角相等兩直線平行和三角形中位線的性質證明OE是△ABC的中位線.
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3
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3
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