Question

如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連接AB，BC．
（1）求證：△ABC∽△ADB；
（2）若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC是圓O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∵AD⊥BP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠ADB，
∵PA是圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACB，
又∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABD，
∴∠ABD=∠ACB，
[也可以為：∵PA，PB是圓O的切線，
∴∠ABD=∠ACB（弦切角定理）]
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB，
∴△ABC∽△ADB；

（2）解：連接OP，OB，
∵PA是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠OAP，
在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴=，

∴∠AOE=∠AOB=∠ACB，
在△ABC與△PAO中，
∵∠AOE=∠ACB，∠ABC=∠OAP，
∴△ABC∽△PAO，
∴，
∴，
∴AB=厘米．
分析：（1）根據AC為⊙O的半徑，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根據切線的性質知：∠ABD=∠ACB，從而可證：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根據勾股定理可將OP的長求出，再根據△ABC∽△PAO，可將AB的長求出．
點評：本題主要考查相似三角形的判定及切線性質的應用．