Question

（2004•黃岡）在直角坐標系XOY中，O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別為A（5，0），B（0，4），C（-1，0）．點M和點N在x軸上（點M在點N的左邊），點N在原點的右邊，作MP⊥BN，垂足為P（點P在線段BN上，且點P與點B不重合），直線MP與y軸相交于點G，MG=BN．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的表達式；
（2）求點M的坐標；
（3）設ON=t，△MOG的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）過點B作直線BK平行于x軸，在直線BK上是否存在點R，使△ORA為等腰三角形？若存在，請直接寫出點R的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A、B、C的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）由于M點的位置不確定，因此可分兩種情況：
①M在x軸負半軸，可通過證△BON≌△MOG，得出OM=OB，據此可求出M點的坐標．
②M在x軸正半軸，同①；
（3）根據②的全等三角形可得出ON=OG=t，而OM=4，可根據三角形的面積公式得出關于S，t的函數關系式；
（4）存在5個符合條件的R點，如圖：

解答：解：（1）設所求拋物線的表達式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
由題意，得
解得
所以所求的表達式為y=-x²+x+4；

（2）依題意，分兩種情況：
①當點M在原點的左邊（如圖1）時，
在Rt△BON中，∠1+∠3=90°
因為MP⊥PN，所以∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠2
在Rt△BON和Rt△MOG中，
所以Rt△BON≌Rt△MOG
所以OM=OB=4．所以M點的坐標為（-4，0）；
②當點M在原點的右邊（如圖2）時，同理可證OM=OB=4．此時M點的坐標為（4，0）．

（3）圖1中，Rt△BON≌Rt△MOG，所以OG=ON=t．
所以S=OM•OG=•4•t=2t（其中0＜t＜4）．
圖2中，同理可得S=2t，其中t＞4．
所以所求的函數關系式為S=2t，
t的取值范圍為t＞0且t≠4；

（4）存在點R，使△ORA為等腰三角形，
其坐標為：R₁（-3，4），R₂（3，4），R₃（2，4），R₄（，4），R₅（8，4）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、等腰三角形的構成等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．