Question

13、試寫出所有3個連續(xù)正整數(shù)立方和的最大公約數(shù)，并證明．

Answer 1

分析：可設中間的正整數(shù)為n，表示出3個連續(xù)正整數(shù)立方和，進而解答．

解答：解：設三個連續(xù)的正整數(shù)的立方和為f（n）=（n-1）³+n³+（n+1）³
=3n³+6n
=3n³-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵當n≥2時，（n-1）n（n+1）是三個連續(xù)的整數(shù)的積，
所以必是3的倍數(shù)，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三個連續(xù)的正整數(shù)的立方和的最大公約數(shù)是9．

點評：解決本題的關(guān)鍵是利用完全平方公式，以及單項式乘多項式的法則，得到3個連續(xù)正整數(shù)立方和．難點在于把得到的立方和進行整理，整理成都含有某個數(shù)的形式．