試寫出所有3個連續正整數立方和的最大公約數，并證明．
【答案】分析：可設中間的正整數為n，表示出3個連續正整數立方和，進而解答．
解答：解：設三個連續的正整數的立方和為f（n）=（n-1）3+n3+（n+1）3
=3n3+6n
=3n3-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵當n≥2時，（n-1）n（n+1）是三個連續的整數的積，
所以必是3的倍數，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三個連續的正整數的立方和的最大公約數是9．
點評：解決本題的關鍵是利用完全平方公式，以及單項式乘多項式的法則，得到3個連續正整數立方和．難點在于把得到的立方和進行整理，整理成都含有某個數的形式．
