Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=，OC=1．矩形OABC繞點B按順時針方向旋轉60°后得到矩形DFBE．點A的對應點為點F，點O的對應點為點D，點C的對應點為點E，且點D恰好在y軸上，二次函數y=ax²+bx+2的圖象過E、B兩點．
（1）請直接寫出點B和點D的坐標；
（2）求二次函數的解析式；
（3）在x軸上方是否存在點P，點Q，使以點O、A、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OA=，OC=1，可得出點B的坐標，根據函數解析式可得出點D的坐標；
（2）過點E作EM⊥于BC點M，根據旋轉角度可得出∠EBM=60°，結合BE=，可得出點E的坐標，將點E和點B的坐標代入可得出二次函數解析式；
（3）設點P的坐標為（x，-x²+x+2），然后根據平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，可得出x的值，繼而可求出點P的坐標及點Q的坐標．
解答：解：（1）∵OA=，OC=1，
∴點B的坐標為（，1），
根據二次函數解析式為y=ax²+bx+2，可得點D的坐標為（0，2）；
綜上可得點B的坐標為（，1），點D的坐標為（0，2）．

（2）過點E作EM⊥于BC點M，

∵∠EBM=60°，BE=，
∴BM=，EM=，
∴CM=BC-BM=-=，
∴點E的坐標為（，），
將點E及點B的坐標代入可得：，
解得：，
故函數解析式為y=-x²+x+2；

（3）存在．
設點P的坐標為（x，-x²+x+2），
∵平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，
∴×（-x²+x+2）=2，
解得：x₁=，x₂=0，
當x=0時，點P的坐標為（0，2），此時點Q的坐標為（，2）或（-，2）；
當x=時，點P的坐標為（，2），此時點Q的坐標為（，2）或（-，2）；
點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、旋轉角度、解直角三角形及平行四邊形的性質，綜合性較強，解答本題的關鍵是熟練掌握各個知識點的內容，仔細理解題意，將所學的知識融會貫通，難度較大．