Question

【題目】如圖， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點， 將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相交于點O，BE與DC相交于G點，且OE=OD，

（1）求證：AP=DG

（2）若設AP=x，則GE=______，GC=_______（用含有x的代數式表示）；并求AP的長度

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）6－x； 8－x；AP=4.8 .

【解析】

（1）先根據長方形的性質證得△BAP≌△BEP，得到AP＝EP，再證明△ODP≌△OEG，進而得到DG＝EP，即可證明AP＝DG；（2）由△ODP≌△OEG可得GE＝DP＝6－x，由AP＝DG得到GC＝8－x，最后根據勾股定理求出AP的長即可.

（1）∵四邊形ABCD是長方形，

∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.

根據題意得△BAP≌△BEP，

∴AP＝EP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，

在△ODP和△OEG中，，

∴△ODP≌△OEG，

∴OP＝OG，PD＝GE，

∴DG＝EP，

∴AP＝DG.

（2））由（1）易知GE＝DP＝6－x，DG＝x，

∴GC＝8－x，BG＝8－（6－x）＝2＋x，

根據勾股定理得到BC2＝GC2＋BG2，即62＋（8－x）2＝（x＋2）2，

解得x＝4.8，

∴AP＝4.8.