Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F，
（1）求證：△CDE是等腰三角形；
（2）若AB=4，，求證：△OBC≌△DCE．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE實等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=4，易求AC=AO=2，利用勾股定理可求BC=2，CE=AE-AC=2，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．
解答：證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形，
又∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°，
又∵ED⊥AB于F，
∴∠DEC=90°-∠BAC=30°，
∴∠DCE=∠DEC，
故△CDE為等腰三角形；
              
（2）在Rt△ABC中，
∵AB=4，AC=AO=2，
∴，
而，
∴BC=CE，
又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
點評：本題考查了切線的性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質．解題的關鍵是證明△AOC是正三角形．