Question

（2012•江干區一模）如圖，⊙O既是正△ABC的外接圓，又是正△DEF的內切圓，則內外兩個正三角形的相似比是

1

2

．

Answer 1

分析：過O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，連接OC、OF，設OC=ON=R，根據等邊三角形性質推出∠MCO=∠OFN=30°，求出OM、OF的值，根據勾股定理求出CM、FN，根據垂徑定理求出AC、EF值，即可求出答案．

解答：解：
過O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，連接OC、OF，
設OC=ON=R，
∵⊙O既是正△ABC的外接圓，又是正△DEF的內切圓，
∴∠MCO=∠OFN=30°，
∵∠CMO=∠FNO=90°，
∴OM=

1

2

R，OF=2R，
由勾股定理得：CM=

(R)2-( 1 2 R)2

=

3

2

R，
由垂徑定理得：AC=2CM=

3

R，
同理EF=2NF=2

3

R，
即內外兩個正三角形的相似比是AC：EF=1：2=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，垂徑定理，等邊三角形性質等知識點的應用，關鍵是構造直角三角形，主要考查學生對于有關等邊三角形的內切圓與外接圓的計算的掌握，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．