Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D邊BC上的任意一點，將∠C沿過點D的直線折疊，使點C落在斜邊AB上的點E處，當△BDE是直角三角形時，CD的長為_____．

Answer 1

【答案】3或.

【解析】

依據沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當△BDE是直角三角形時，分兩種情況討論：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分別依據勾股定理或者相似三角形的性質，即可得到CD的長．

分兩種情況：

①若∠DEB＝90°，則∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，

連接AD，則Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，

設CD＝DE＝x，則BD＝8﹣x，

∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CD＝3；

②若∠BDE＝90°，則∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，

∴四邊形CDEF是正方形，

∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，

∴△AEF∽△EBD，

∴＝，

設CD＝x，則EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，

∴＝，

解得x＝，

∴CD＝，

綜上所述，CD的長為3或.