Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x="4." 設
頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN. 在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒. 求S關于t的函數關系式.

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c

由題意得   解得
∴二次函數的解析式為y= x²－8x+12 ……………………………………………2分
點P的坐標為（4，－4）…………………………………………………………3分
（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：
當y=0時，x²-8x+12="0  " ∴x₁="2" ， x₂=6
∴點B的坐標為（6，0）
設直線BP的解析式為y=kx+m
則      解得
∴直線BP的解析式為y=2x－12
∴直線OD∥BP………………………………………4分
∵頂點坐標P（4，－4）    ∴ OP=4
設D(x，2x)   則BD²=（2x）²+(6－x)²
當BD=OP時，（2x）²+(6－x)²=32
解得：x₁=，x ₂=2…………………………………………………………………6分
當x₂=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去
∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形…………………7分
∴當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形 ………8分
（3）① 當0＜t≤2時，
∵運動速度為每秒個單位長度，運動時間為t秒，
則MP=t   ∴PH=t，MH=t，HN=t  ∴MN=t
∴S=t·t·=t²  ……………………10分
② 當2＜t＜4時，P₁G=2t－4，P₁H=t
∵MN∥OB    ∴ ∽
∴    ∴
∴=3t²－12t+12
∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12
∴ 當0＜t≤2時，S=t²
當2＜t＜4時，S=－t²+12t－12 ……………12分解析:
略