Question

如圖，已知AD∥BC，AC與BD相交于點O．
（1）找出圖中面積相等的三角形，并選擇其中一對說明理由；
（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E、F，

AC

BD

=

4

5

，求

BE

CF

的值．

Answer 1

分析：（1）根據同底等高的三角形面積相等可得出面積相等的三角形，過A作AH₁⊥BC，DH₂⊥BC，垂足H₁、H₂，由平行線間的距離相等可知AH₁=DH₂，再由三角形的面積公式即可得出S_△ABC=S_△DBC；
（2）由BE⊥AC，CF⊥BD，S_△ABC=S_△DBC，再根據三角形的面積公式可知AC×BE=DB×CF，進而可得出結論．

解答：解：（1）△ABC與△DBC，△ADB與△ADC，△AOB與△DOC．
過A作AH₁⊥BC，DH₂⊥BC，垂足H₁、H₂，…（1分）
∵AD∥BC，（已知），
∴AH₁=DH₂（平行線間距離的意義）．…（1分）
∵S_△ABC=

1

2

BC×AH₁，S_△DBC=

1

2

BC×AH₂，（三角形面積公式），…（1分）
∴S_△ABC=S_△DBC．…（1分）

（2）∵BE⊥AC，CF⊥BD，（已知）
∴S_△ABC=

1

2

AC×BE，S_△DBC=

1

2

DB×CF（三角形面積公式）．…（1分）
∵S_△ABC=S_△DBC，
∴

1

2

AC×BE=

1

2

DB×CF．…（1分）
∴AC×BE=DB×CF，
∴

AC

BD

=

CF

BE

．
∵

AC

BD

=

4

5

，
∴

BE

CF

=

5

4

．…（1分）

點評：本題考查的是三角形的面積及平行線間的距離，解答此題的關鍵是熟知以下知識：
①同底等高的三角形面積相等；
②兩平行線之間的距離相等．