Question

已知：如圖，△ABC中，CA=4，點D為AC的中點，以AD為直徑的⊙O切BC于點E．
（1）求CE的長；
（2）過點D作DF∥BC交⊙O于點F，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可推出，OE⊥BC，AD=DC=2，OA=OD=OE=1，即OC=3，根據勾股定理即可推出CE的長度，（2）根據題意，通過求證△OMD∽△OEC，然后根據對應邊成比例即可推出DM的長度，最后根據垂徑定理即可推出DF的長度．

解答：解：（1）∵△ABC中，CA=4，點D為AC的中點，
∴AD=DC=2，
∵以AD為直徑的⊙O切BC于點E，
∴OA=OD=OE=1，OE⊥BC，
∴OC=3，
∴CE=2

2

，

（2）∵DF∥BC，OE⊥BC，
∴OE⊥DF，
∴DF=2DM，
∵DF∥BC，
∴△OMD∽△OEC，
∴OD：OC=DM：CE，
∵OC=3，OD=1，CE=2

2

，
∴DM=

2 2

3

，
∴DF=2DM=

4 2

3

．

點評：本題主要考查勾股定理、切線的性質、相似三角形的判定和性質，垂徑定理，關鍵在于熟練運用勾股定理推出CE的長度，求證△OMD∽△OEC．