Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數根；
（2）若等腰△ABC的底邊a=3，另兩邊b，c好是此方程的兩根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）計算方程的根的判別式，若△=b²-4ac≥0，則證明方程總有實數根；
（2）已知底邊a=3，則b=c，求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．

解答：（1）證明：∵△=b²-4ac=（k+1）²-4•（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²≥0
∴無論k取何值，方程總有實數根．
（2）解：當a=3為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴（k-3）²=0，解得：k=3．
此時原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時△ABC三邊為3，2，2；
∴周長為7．

點評：重點考查了根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗．