Question

利用圖形來表示數量或數量關系，也可以利用數量或數量關系來描述圖形特征或圖形之間的關系，這種思想方法稱為數形結合．我們剛學過的《從面積到乘法公式》就很好地體現了這一思想方法，你能利用數形結合的思想解決下列問題嗎？
如圖，一個邊長為1的正方形，依次取正方形的

1

2

，

1

4

，

1

8

，…

1

2n

，根據圖示我們可以知道：第一次取走

1

2

后還剩

1

2

，即

1

2

=1-

1

2

；前兩次取走

1

2

+

1

4

后還剩

1

4

，即

1

2

+

1

4

=1-

1

4

；前三次取走

1

2

+

1

4

+

1

8

后還剩

1

8

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

；…前n次取走后，還剩

1

2n

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=

1-

1

2n

．
利用上述計算：
（1）

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=

1-

1

3n

．
（2）

1

3

+

2

9

+

4

27

+…+

2n-1

3n

=

1-

2n

3n

．
（3）2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰¹¹+2²⁰¹² （本題寫出解題過程）

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，依次取正方形面積的

2

3

，

2

9

，

2

27

…找出規律即可；
（2）根據題意畫出圖形，依次取正方形面積的

1

3

，

2

9

，

4

27

…找出規律即可；
（3）根據同底數冪的乘法進行計算即可．

解答：解：∵第一次取走

1

2

后還剩

1

2

，即

1

2

=1-

1

2

；
前兩次取走

1

2

+

1

4

后還剩

1

4

，即

1

2

+

1

4

=1-

1

4

；
前三次取走

1

2

+

1

4

+

1

8

后還剩

1

8

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

；
∴前n次取走后，還剩

1

2n

，即

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=1-

1

2n

；
故答案為：

1

2n

，

1

2

+

1

4

+

1

8

+…

1

2n

=1-

1

2n

；

（1）如圖所示：

由圖可知，

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=1-

1

3n

．
故答案為：1-

1

3n

；

（2）如圖是一個邊長為1的正方形，根據圖示

由圖可知，

1

3

+

2

9

+

4

27

+…+

2n-1

3n

=1-

2n

3n

，
故答案為：1-

2n

3n

；

（3）2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰¹¹+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²（2^-2010+2^-2009+2^-2008+…+2^-1）+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²（1-2^-2010）+2²⁰¹²
=2-2²⁰¹²+4+2²⁰¹²
=6．

點評：本題考查的是整式的加減，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．