Question

如圖，點P是直線：上的點，過點P的另一條直線交拋物線于A、B兩點．

（1）若直線的解析式為，求A、B兩點的坐標；

（2）①若點P的坐標為（－2，），當PA＝AB時，請直接寫出點A的坐標；

     ②試證明：對于直線上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立．

（3）設直線交軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）依題意，得解得，

∴A（，），B（1，1）．

（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）．

        ②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.

    設P（，），A（，），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，

∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（，），

將點B坐標代入拋物線，得，

∵△＝

∴無論為何值時，關于的方程總有兩個不等的實數解，即對于任意給定的

點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A．

（3）設直線：交y軸于D，設A（，），B（，）．

過A、B兩點分別作AG、BH垂直軸于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，

由△AGO∽△OHB，得，∴．

聯立得，依題意，得、是方程的兩根，∴，∴，即D（0，1）．

∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P

設P（，），過點P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，，

∴．∴（舍去），，∴P（，）．

∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴，