Question

某校學習小組在開展研究性學習中，對同學們常用的兩塊直角三角板之間的關系進行了研究，發現了一個有趣的現象：“如果一個三角形中∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，當∠A=2∠B時，有a²-b²=bc”．
（1）請分別在圖1和圖2中證明上述結論成立；
（2）如圖3，△ABC是任意三角形時，上述結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用，∠C=90°，B=30°求得a、c，從而利用已知條件推出等式成立．
（2）在圖3中，作∠CAB的平分線AD交BC于D，利用△ACD∽△BCA由等比性質得．

解答：解：（1）圖1中，∠C=90°，B=30°，
∴a=

3

b，c=2b．
∴a²-b²=(

3

b)2-b²=2b²．而bc=b•（2b）=2b²，
∴a²-b²=bc成立．
圖2中，∠A=90°，∠B=45°，
∴a²-b²=c²，b=c．
∴bc=c²．
∴a²-b²=bc也成立；

（2）在圖3中，作∠CAB的平分線AD交BC于D．
∵∠A=2∠B，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，得AD=BD，
∴△ACD∽△BCA，
故

CD

AC

=

AC

BC

=

AD

AB

，
由等比性質，得

CD+AD

AC+AB

=

AC

BC

，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²-b²=bc．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質和勾股定理這一知識點的理解和掌握．