Question

（2000•山東）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分別是邊AB、BC上的動點，且點P不與點A、B重合，點Q不與點B、C重合．
（1）在以下五個結論中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C為頂點的三角形全等于△PQB；④以A、P、C為頂點的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C為頂點的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是______．（只需將結論的代號填入題中的模線上）．
（2）設AC=BC=1，當CQ的長取不同的值時，△CPQ是否可能為直角三角形？若可能，請說明所有的情況；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知一定不成立的有：①，④．
（2）過Q作QP⊥BC，交AB于P點，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點．作OP₁⊥AB于P₁點．設CO=t，則OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．先根據相似三角形△ABC∽△OBP₁的性質求得t值，即得到線段CD的長度，再分情況討論．①Q與點D重合時，以CQ為直徑的圓與AB相切，②Q點在線段CD上時（不與C、D重合），0＜CQ＜2-2，以CQ為直徑的圓與AB相離，③Q點在DB上時（不與D、B重合），2-2＜CQ＜1，以CQ為直徑的圓與AB有兩個交點P₂、P₃．
解答：解：（1）①，④（4分）

（2）可能．
例如：過Q作QP⊥BC，交AB于P點，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點．作OP₁⊥AB于P₁點．（5分）
∴CO=OP₁以O為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切，切點為P₁，與CB的交點為D．
設CO=t，則OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．
由△ABC∽△OBP₁，得
，
∴，
∴t=-1，
∴CD=2-2（7分），
∴當Q與點D重合時，以CQ為直徑的圓與AB相切，切點為P₁，連CP₁、P₁Q，△CP₁Q為直角三角形，此時共有兩個直角三角形（8分）
當Q點在線段CD上時（不與C、D重合），0＜CQ＜2-2，以CQ為直徑的圓與AB相離，此時只有一個直角三角形CQP．（9分）
當Q點在DB上時（不與D、B重合），2-2＜CQ＜1，以CQ為直徑的圓與AB有兩個交點P₂、P₃．分別連接P₂、P₃與點C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此時有三個直角三角形．（10分）
點評：此類題目是相似與圓的知識的綜合運用，難點在第（2）題，解決的根據是三角形相似的性質和直線和圓的三種位置關系．