Question

如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD．
求證：AD•CE=DE•DF；
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路過程寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得8分；選取②完成證明得6分；選取③完成證明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

Answer 1

【答案】分析：連接AF，由直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等的性質，證得直線CD是⊙O的切線，若證AD•CE=DE•DF，只要征得△ADF∽△DEC即可．在第一問中只能證得∠EDC=∠DAF=90°，所以在第二問中只要證得∠DEC=∠ADF即可解答此題．
解答：（1）證明：連接AF，
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DAF=90°，
∴∠F+∠ADF=90°，
∵∠F=∠ABD，∠ADG=∠ABD，
∴∠F=∠ADG，
∴∠ADF+∠ADG=90°
∴直線CD是⊙O的切線
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DAF=90°；

（2）選取①完成證明
證明：∵直線CD是⊙O的切線，
∴∠CDB=∠A．
∵∠CDB=∠CEB，
∴∠A=∠CEB．
∴AD∥EC．
∴∠DEC=∠ADF．
∵∠EDC=∠DAF=90°，
∴△ADF∽△DEC．
∴AD：DE=DF：EC．
∴AD•CE=DE•DF．
點評：此題考查了切線的性質與判定、弦切角定理、相似三角形的判定與性質等知識．注意乘積的形式可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．還要注意構造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．