Question

如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠CDB=∠CBD，⊙O的直徑為6，CD=4，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AF，由直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等的性質，證得直線CD是⊙O的切線．
（2）連接OB，構造直角三角形，用勾股定理解答即可．

解答：（1）證明：連接AF
∵DF是直徑
∴∠DAF=90°
∴∠AFD+∠ADF=90°
∵∠AFD=∠ABD=∠ADG
∴∠ADG+∠ADF=90°即∠GDF=90°
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：連接OB
∵OB=OD
∴∠ODB=∠OBD
∵∠CDB=∠CBD
∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD=90°即∠ODC=∠OBC=90°
∴BC是⊙O的切線
∵CB⊥AB
∴AB是⊙O的直徑點E與圓心O重合
∴CE=

CD2+OD2

=

42+32

=5．

點評：此題考查了切線的性質與判定、弦切角定理、相似三角形的判定與性質等知識．注意乘積的形式可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．還要注意構造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．