Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，F為BE上一點，連接DF，過F作FG⊥DF交BC于點G，連接BD交FG于點H，若FD=FG，BF=3 ，BG=4，則GH的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：解法一：如右圖，過點F作BC的垂線，分別交BC、AD于點M、N，則MN⊥AD，延長GF交AD于點Q，如圖所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∴△MBF是等腰直角三角形，

∵BF=3 ，

∴BM=FM=3，

∵BG=4，

∴MG=1，

∵FD⊥FG，

∴∠DFG=90°，

∴∠DFN+∠MFG=90°，

∵∠DNF=90°，

∴∠NDF+∠DFN=90°，

∴∠NDF=∠MFG，

在DNF和△FMG中，

，

∴△DNF≌△FMG（AAS），

∴DN=FM=3，NF=MG=1，

由勾股定理得：FG=FD= ，

∵QN∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴FQ= ，QN= ，

設GH=x，則FH= ﹣x，

∵QD∥BG，

∴ ，

∴ ，

x= ，

即GH= ．

解法二：如右圖，過F作FN⊥BC于N，過B作BM⊥FG于M，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∴△NBF是等腰直角三角形，

∵BF=3 ，

∴BN=FN=3，

∵BG=4，

∴NG=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：DF=FG= = ，

∵S△BFG= BGFN= FGBM，

∴4×3= BM，

∴BM= ，

∴GM= = = ，

∴FM=GF﹣GM= ﹣ = ，

∵DF∥BM，

∴△DFH∽△BMH，

∴ ，

∴ = ，

∴HM= ，

∴GH=HM+GM= + = ；

所以答案是： ．

【考點精析】本題主要考查了三角形的面積和矩形的性質的相關知識點，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．