Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B、點C重合）．以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時．①求證：△ABD≌△ACE；②直接判斷結論BC=DC+CE是否成立；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC、DC、CE之間存在的數量關系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、點E分別在直線BC的異側，其他條件不變，直接寫出BC、DC、CE之間存在的數量關系．

Answer 1

分析：（1）①根據等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE；
②由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；
（2）由等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；
（3）由等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．

解答：解：（1）①∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）BC+CD=CE．
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）DC=CE+BC．
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵DC=BD+BC，
∴DC=CE+BC；

點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．