Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）求證：CE是圓O所在圓的切線；

（2）若tan∠BAC＝，BC＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）r＝

【解析】

（1）連接OE．欲證直線CE與相切，只需證明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；
（2）在直角三角形ABC中，根據三角函數的定義可以求得 然后根據勾股定理求得 同理知DE=1；在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即從而易得r的值；

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠BCA＝∠DAC；

又∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE；

連接OE，則∠DAC＝∠AEO＝∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC＝90°，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半徑，

∴直線CE與⊙O相切；

（2）∵

∴

∴

∵∠DCE=∠ACB,

∴

∴DE＝DCtan∠DCE＝1；

在Rt△CDE中，

設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2＝OE2+CE2，

即

解得：