Question

已知△ABC是圓O的內接三角形，P是△ABC的內心，AP交BC于D，交圓O于E，延長AE至F，PE=EF，求證：PC⊥FC．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：證明題

分析：根據三角形內心的定義得到∠5=∠6，∠2=∠3，利用三角形外角性質得∠1=∠5+∠2=∠5+∠3，再根據圓周角定理得到∠4=∠6，所以∠4=∠5，則∠1=∠3+∠4，即∠1=∠PCE，得到EC=EP，于是有PE=EF=EC，根據等腰三角形的性質得∠7=∠F，利用三角形內角和定理可計算出∠3+∠4+∠7=90°，然后根據垂直的定義即可得到結論．

解答：證明：∵P是△ABC的內心，
∴PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∴∠5=∠6，∠2=∠3，
∴∠1=∠5+∠2=∠5+∠3，
∵∠4=∠6，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠3+∠4，即∠1=∠PCE，
∴EC=EP，
∵PE=EF，
∴PE=EF=EC，
∴∠7=∠F，
∴∠3+∠4+∠7=

1

2

×180°=90°，
∴PC⊥FC．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了圓周角定理．