Question

（2003•荊門）如圖，二次函數y=x²經過三點A、B、O，其中O為坐標原點．點A的坐標為（1，1），∠BAO=90°，AB交y軸于點C．
（1）求點C、點B坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過A、B兩點，且對稱軸經過Rt△BAO的外接圓圓心，求該二次函數解析式；
（3）若二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過A、B兩點，且與x軸有兩個不同的交點，試求出滿足此條件的一個二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先求直線AB的解析式，然后再求C、B的坐標．由于直線AB與直線OA垂直，因此兩直線的斜率的乘積為-1，先求出直線OA的解析式，然后將A點的坐標代入直線AB中即可求出直線AB的解析式．
（2）直角三角形BAO的外接圓的圓心必為OB的中點，因此拋物線的對稱軸方程應該是B點橫坐標的一半，然后在講A、B坐標代入拋物線的解析式中即可求出二次函數的解析式．
（3）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，用a替換掉b、c，然后根據拋物線與x軸有兩個交點，那么y=0時方程的△＞0，據此可求出a的取值范圍，據此可判斷出二次函數的解析式．
解答：解：（1）易知直線OA的解析式為y=x，由于OA⊥AB，設直線AB的解析式為y=-x+h．
則有：-1+h=1，h=2，
∴直線AB的解析式為y=-x+2．
∴C（0，2）．
由于B是直線AB與拋物線y=x²的交點，
則有，
解得，，
∴B（-2，4）．

（2）由題意可知：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1．
則有：，
解得，
∴y=-x²-2x+4．

（3）根據題意有：
，
解得，
∴y=ax²-（a-1）x+2-2a，
由于拋物線與x軸有兩個不同交點，
令y=0，ax²-（a-1）x+2-2a=0，
△=（a-1）²-4a（2-2a）=9a²-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，且a＞0
∴0＜a＜或a＞1，
∴二次函數的解析式為y=2x²-x-2（答案不唯一）．
點評：本題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定、函數圖象交點以及一元二次方程根與系數的關系等知識點．