Question

如圖，PB切⊙O于B點，直線PO交⊙O于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO交⊙O于點C，連結BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

（1）連接OB，根據切線的性質可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共邊PO可證得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，從而可以證得結論；（2）5

試題分析：（1）連接OB，根據切線的性質可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共邊PO可證得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，從而可以證得結論；
（2）設AD＝x，根據∶=1∶2，即可表示出FD＝2x，OA＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，根據勾股定理即可列方程求解．
（1）如圖，連接OB

∵PB是⊙O的切線
∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB
又∵PO＝PO
∴△PAO≌△PBO
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴直線PA為⊙O的切線；
（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6
∴OD＝BC＝3
設AD＝x
∵∶=1∶2
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3
在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3)²＝x²＋3²
解得x₁＝4，x₂＝0（不合題意，舍去）
∴AD＝4，OA＝2x－3＝5
即⊙O的半徑的長5．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握切線垂直于經過切點的半徑，注意勾股定理在圓中的靈活應用.