Question

已知：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，

探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=；
探究（2）：在等邊△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點(diǎn)D、E、F。
①如圖2，若點(diǎn)O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1：OD+OE+OF=；結(jié)論2：AD+BE+CF=；
②如圖3，若點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1，2是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖，∵為等邊三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 同理： ∴為等邊三角形 在中， 在中， ∴。
（2）結(jié)論1成立 證明：如圖，連接 由 作，垂足為H 則 ∴ ∴ ∴。
結(jié)論2成立 證明：如圖，過頂點(diǎn)依次作邊的垂線圍成 由（1）得為等邊三角形且 過點(diǎn)O分別作于，于于點(diǎn)于點(diǎn) 由結(jié)論1得：   又∵ ∴ ∴四邊形為矩形 ∴ 同理： ∴。