Question

（2013•新華區一模）已知：等邊△ABC的面積為S，D_n，E_n，F_n（n為正整數0分別是AB，BC，CA邊上的點，連接D_nE_n，E_nF_n，F_nD_n，可得△D_nE_nF_n．
如圖1，當AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB時，我們容易得到△D₁E₁F₁是等邊三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=

1

4

S．
探究論證：
（1）如圖2，當AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB時，
①△D₂E₂F₂是

等邊

三角形（填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
②S△AD2F2=

2

9

S

；S△D2E2F2=

1

3

S

（用含S的代數式表示）；
③請說明以上結論的正確性．
猜想發現：
（2）如圖3，當AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB時，
①△D_nE_nF_n是

等邊

三角形（填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
②S△ADnFn=

n

(n+1)2

S

；S△DnEnFn=

n2-n+1

(n+1)2

S

（用含S的代數式表示）．
實際應用：
（3）學校有一塊面積為49m²的等邊△ABC空地，按如圖4所示分割，其中AD₆=BE₆=CF₆=

1

7

AB，計劃在△D₆E₆F₆內栽種花卉，其余地方鋪草坪，則栽種花卉（即陰影部分）的面積為多少m²？

Answer 1

分析：（1）①由等邊三角形的性質和已知條件可證△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，得D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂，所以△D₂E₂F₂為等邊三角形；
②由等邊三角形的性質和面積公式可求；
（2）與上問比較，只是分點的位置由原來的三等分點變成了（n+1）等分點，所以做法與（1）完全一樣；
（3）根據AD₆=BE₆=CF₆=

1

7

AB可以推知分點的是6等分點，所以根據（2）中的公式來求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）①等邊；②

2

9

S，

1

3

S；
③證明：
①∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
又∵AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB，
∴AF2=BD2=CE2=

2

3

AB，
則易證△AD₂F₂≌△BE₂D₂，△AD₂F₂≌△CF₂E₂，△BE₂D₂≌△CF₂E₂．（或△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂）．
∴D₂F₂=E₂D₂=F₂E₂，
∴△D₂E₂F₂是等邊三角形；
②如圖，過點D₂作D₂M∥BC，交AC于點M，
則△AD₂M∽△ABC，
∴

AM

AC

=

AD2

AB

=

1

3

，
∴AM=

1

3

AC，
∴點M是的AF₂中點．
∴

S△AD2M

S△ABC

=(

AD2

AB

)2=(

1

3

)2=

1

9

，即S△AD2M=

1

9

S，
∴S△AD2F2=2S△AD2M=

2

9

S，S△D2E2F2=S-3S△AD2F2=

1

3

S；

（2）①等邊；
②

n

(n+1)2

S，

n2-n+1

(n+1)2

S；

（3）∵S=49，AD6=BE6=CF6=

1

7

AB，
∴S△D6E6F6=

62-6+1

(6+1)2

×49=31（m²）．
∴栽種花卉（即陰影部分）的面積為31m²．

點評：本題考查了等邊三角形等性質，全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的面積規律．做有規律的題目時，在由特殊到一般的過程中，要善于抓住不變量，找到解題途徑．此題比較難，要求學生有比較好的分析問題、解決問題的能力．