Question

（1）已知恒等式x³-x²-x+1=（x-1）（x²+kx-1），求k的值；
（2）若x是整數，求證：

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整數．

Answer 1

分析：（1）先將等式右邊展開計算，再根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數相等，列出關于k的方程，從而求出k的值；
（2）把（1）中k的值代入，可將x³-x²-x+1因式分解，再進行分式的除法運算，可求出

x3-x2-x+1

x2-2x+1

的結果，然后根據條件x是整數，即可得證．

解答：解：（1）由題設知，（x-1）（x²+kx-1）=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
所以x³-x²-x+1=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
從而有k-1=-1，-k-1=-1，
解得k=0．
故所求k的值為0；
（2）由（1）知k=0，則x³-x²-x+1=（x-1）（x²-1）=（x-1）²（x+1），
∴

x3-x2-x+1

x2-2x+1

=

(x-1)2(x+1)

(x-1)2

=x+1．
又∵x是整數，
∴x+1是整數．
故

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整數．

點評：本題主要考查了多項式乘多項式的法則，因式分解及分式的除法．由于多項式除以多項式的內容在初中教材大綱中不學習，故本題第二問有一定難度，屬于競賽題型．解決第一問的關鍵是根據多項式乘多項式的法則，利用兩邊對應項系數相等，列出關于k的方程；解決第二問的關鍵是利用（1）的結論，將多項式x³-x²-x+1因式分解．