Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：①∠BOC=90°+∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn；④EF不可能是△ABC的中位線．其中正確結論的個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：此題涉及的知識點較多，逐一分析解答．
①根據三角形內角和定理求解；
②根據兩圓位置關系的判定方法求解；
③根據三角形AEF的面積=三角形AOE的面積+三角形AOF的面積求解；
④若此三角形為等邊三角形，則EF即為中位線．
解答：解：①中，∠BOC=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．所以①正確；
②中，∠EBO=∠EOB，則EB=EO，同理FO=FC；則以E為圓心，BE為半徑的圓經過點O．同理，以F為圓心，CF為半徑的圓也經過點O，則這兩個圓外切，所以②正確；
③中，連接AO，則AO也是此三角形的角平分線，則點O到AB與到AC的距離相等，則三角形AEF的面積=三角形AOE的面積+三角形AOF的面積，又高相等，則等于 mn，這與原題不符，所以此項錯誤；
④連AO，設EF是△ABC的中位線，
∵EF∥BC，∠ABO=∠CBO，
∴OE=BE=•AB，
∴∠AOB=90°（三角形一邊上的中線等于這邊的一半，是直角三角形）
同理∠AOC=90°，
∴O的應該在BC上，由WF過O點，
EF與BC重合，
∴E、F不可能是三角形ABC的中點，即EF不可能是△ABC的中位線．
所以此項正確；
正確的結論是①、②、④，
故選C．
點評：本題考查的內容比較全面，信息量較大，遇到此類題目要逐一分析，從而得出結論．