Question

（2003•泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB₁A₁的對稱軸為y軸．
（1）請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點A₂、B₂（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；
（2）連接A₁A₂、B₁B₂（其中A₂、B₂為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂；
（3）設(shè)線段AB兩端點的坐標分別為A（-2，4）、B（-4，2），連接（1）中A₂B₂，試問在x軸上是否存在點C，使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小？若存在，求出點C的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中心對稱的方法，找點A₂，B₂，連接即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）依題意與（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂），得到A₁、B₁關(guān)于x軸的對稱點是A₂、B₂，所以x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂．
（3）根據(jù)A₁與A₂，B₁與B₂均關(guān)于x軸對稱，連接A₂B₁交x軸于C，點C為所求的點．根據(jù)題意得B₁（4，2），A₂（2，-4）
設(shè)直線A₂B₁的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法．解得，所以可求直線A₂B₁的解析式為y=3x-10．令y=0，得x=，所以C的坐標為（，0）．即點C（，0）能使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小．
解答：解：（1）如圖，A₂、B₂為所求的點．

（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
依題意與（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂）
∴A₁、B₁關(guān)于x軸的對稱點是A₂、B₂，
∴x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂．

（3）存在符合題意的C點．
由（2）知A₁與A₂，B₁與B₂均關(guān)于x軸對稱，
∴連接A₂B₁交x軸于C，點C為所求的點．
∵A（-2，4），B（-4，2）依題意及（1）得：
B₁（4，2），A₂（2，-4）．
設(shè)直線A₂B₁的解析式為y=kx+b則有
解得
∴直線A₂B₁的解析式為y=3x-10，
令y=0，得x=，
∴C的坐標為（，0）
綜上所述，點C（，0）能使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小．
點評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)．要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線．會根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．