Question

（2003•泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB₁A₁的對稱軸為y軸．
（1）請畫出：點A、B關于原點O的對稱點A₂、B₂（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；
（2）連接A₁A₂、B₁B₂（其中A₂、B₂為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂；
（3）設線段AB兩端點的坐標分別為A（-2，4）、B（-4，2），連接（1）中A₂B₂，試問在x軸上是否存在點C，使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小？若存在，求出點C的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據中心對稱的方法，找點A₂，B₂，連接即可．
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）依題意與（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂），得到A₁、B₁關于x軸的對稱點是A₂、B₂，所以x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂．
（3）根據A₁與A₂，B₁與B₂均關于x軸對稱，連接A₂B₁交x軸于C，點C為所求的點．根據題意得B₁（4，2），A₂（2，-4）
設直線A₂B₁的解析式為y=kx+b則利用待定系數法．解得，所以可求直線A₂B₁的解析式為y=3x-10．令y=0，得x=，所以C的坐標為（，0）．即點C（，0）能使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小．
解答：解：（1）如圖，A₂、B₂為所求的點．

（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
依題意與（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂）
∴A₁、B₁關于x軸的對稱點是A₂、B₂，
∴x軸垂直平分線段A₁A₂、B₁B₂．

（3）存在符合題意的C點．
由（2）知A₁與A₂，B₁與B₂均關于x軸對稱，
∴連接A₂B₁交x軸于C，點C為所求的點．
∵A（-2，4），B（-4，2）依題意及（1）得：
B₁（4，2），A₂（2，-4）．
設直線A₂B₁的解析式為y=kx+b則有
解得
∴直線A₂B₁的解析式為y=3x-10，
令y=0，得x=，
∴C的坐標為（，0）
綜上所述，點C（，0）能使△A₁B₁C與△A₂B₂C的周長之和最小．
點評：主要考查了軸對稱的作圖和性質，以及垂直平分線的性質．要知道對稱軸垂直平分對應點的連線．會根據此性質求得對應點利用待定系數法解一次函數的解析式是解題的關鍵．