Question

26、如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，AD是△ABC外角∠CAG的平分線，CF⊥AD于F．
（1）試說明四邊形AECF為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是一個(gè)正方形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠BAE=∠CAE，∠GAD=∠CAD，得出∠CAE十∠CAD=90°，利用等腰三角形的三線合一得出AE⊥BC，進(jìn)而求出四邊形AECF是矩形．
（2）假設(shè)∠BAC=90°，利用△AEC≌△AFC，得出AE=AF，即可得出四邊形AECF是正方形．

解答：解：（1）因?yàn)椤螧AE=∠CAE，∠GAD=∠CAD，
所以2（∠CAE+∠CAD）=180°，
所以∠CAE十∠CAD=90°，
即∠EAD=90°，
因?yàn)锳B=AC，AE是角平分線，
所以AE⊥BC，
由于CF⊥AD，
所以四邊形AECF是矩形．

（2）當(dāng)∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形，
理由：由于∠BAC=90°，
所以∠CAE=45°，
所以∠CAD=45°，
因?yàn)椤螦EC=∠AFC=90°，AC=AC，
所以△AEC≌△AFC，
所以AE=AF，
所以四邊形ADCE是正方形．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的判定與矩形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，此題利用已知條件開放綜合培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，此題比較典型．