【題目】已知：如圖，四邊形 ABCD 內接于⊙ O ，AC 和 BD 相交于E ， BC = CD = 4 ， AE = 6 ，且 BE 和 DE 的長是正整數，求 BD 的 長．
【答案】7
【解析】
根據已知條件，易證△ABC∽△BEC，所以BC2=CEAC，即可求得EC=2，再證△BCE∽△ADE，可得BEDE的值，又線段BE、ED為正整數，且在△BCD中，BC+CD>BE+DE，所以可得BE、DE的長，即可得BD的長．
解：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴
，
∴BC2=CEAC，
∵BC=CD=4，AE=6，
∴EC=2，
∵∠DBC=∠DAC，∠CEB=∠DEA，
∴△BCE∽△ADE，
∴
，
∴BEDE=AEEC，
即BEDE=12，
又線段BE、ED為正整數，
且在△BCD中，BC+CD>BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
優學名師名題系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分線交AC于點D，在AB上取點O，以點O為圓心經過B、D兩點畫圓分別與AB、BC相交于點E、F（異于點B）．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E恰好是AO的中點，求
的長；
（3）若CF的長為
，①求⊙O的半徑長；②點F關于BD軸對稱后得到點F′，求△BFF′與△DEF′的面積之比．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我們把有兩邊對應相等，且夾角互補(不相等)的兩個三角形叫做“互補三角形”，如圖1，□ABCD中，△AOB和△BOC是“互補三角形”.
(1)寫出圖1中另外一組“互補三角形”_______；
(2)在圖2中，用尺規作出一個△EFH，使得△EFH和△EFG為“互補三角形”，且△EFH和△EFG在EF同側，并證明這一組“互補三角形”的面積相等.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線
與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵
≥0， ∴
≥0，
∴
≥
，只有當a＝b時，等號成立．
結論：在≥（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥
，只有當a＝b時，a+b有最小值．
根據上述內容，回答下列問題：
若m＞0，只有當m＝ 時，
有最小值 ．
思考驗證：如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點（與點A、B不重合），過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD＝a，DB＝b．
試根據圖形驗證≥，并指出等號成立時的條件．
探索應用：如圖2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線
（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為了增強學生的環保意識，某校組織了一次全校2000名學生都參加的“環保知識”考試，考題共10題．考試結束后，學校團委隨機抽查部分考生的考卷，對考生答題情況進行分析統計，發現所抽查的考卷中答對題量最少為6題，并且繪制了如下兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖提供的信息解答以下問題：
（1）本次抽查的樣本容量是 ；在扇形統計圖中，m= ，n= ，“答對8題”所對應扇形的圓心角為 度；
（2）將條形統計圖補充完整；
（3）請根據以上調查結果，估算出該校答對不少于8題的學生人數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1＝2x2+
的頂點為M，直線y2＝x，點P（n，0）為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線y1＝2x2+和直線y2＝x于點A、點B
（1）直接寫出A、B兩點的坐標（用含n的代數式表示）
（2）設線段AB的長為d，求d關于n的函數關系式及d的最小值，并直接寫出此時線段OB與線段PM的位置關系和數量關系；
（3）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為整數且a≠0），對一切實數x恒有x≤y≤2x2+，求a，b，c的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則
①二次函數的最大值為a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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